Как перевести дробь в десятичную и наоборот

Содержание

Перевод неправильных дробей в десятичную дробь

Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя.

Бывают неправильные дроби, у которых в знаменателе содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять цéлую часть.

Пример 1. Перевести неправильную дробь  в десятичную.

Дробь является неправильной. Чтобы перевести такую дробь в десятичную, нужно в первую очередь выделить у нее цéлую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и хорошенько изучить её.

Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10. Деление нужно выполнить с остатком:

Посмóтрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Частное 11 будет целой частью, остаток 2 — числителем дробной части, делитель 10 — знаменателем дробной части:

Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

11,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части  и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать после запятой числитель дробной части:

11,2

Значит, неправильная дробь при переводе в десятичную обращается в 11,2

Десятичная дробь 11,2 читается так:

«Одиннадцать целых, две десятых».

Пример 2. Перевести неправильную дробь   в десятичную дробь.

Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе содержится число 100.

В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим уголком 450 на 100:

Соберём новое смешанное число — получим . Теперь переведём его в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:

4,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе  и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

4,50

Значит неправильная дробь  при переводе в десятичную обращается в 4,50

При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5

Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны и между ними можно поставить знак равенства:

4,50 = 4,5

Возникает вопрос «а почему так происходит?» Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

  1. В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
  2. В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
  3. При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь. 

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.

  1. В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
  2. В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
  3. Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные.

  1. В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
  2. В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

  1. Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
  2. В числителе  записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
  3. В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.

  1. Записываем число 155, как целую часть.
  2. В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль. 
  3. В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 1556005100000

Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:

155,06005=155120120000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3,75().

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3,75()=3,75=375100=154.

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1-q.

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

Запишем:

,(8)=,8+,08+,008+..

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1.

Применим формулу:

,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь ,43(18).

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..)

Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900.

Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат:

,43(18)=43100+189900

После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

,43(18)=1944

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по  яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь  это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»

Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби  это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.

Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице», то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

Получили ответ 0,5. Значит дробь  равна 0,5

Половину яблока  можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:

Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

Пример 2. Найти значение выражения 4 : 5

Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4 : 5 равно 0,8

Пример 3. Найти значение выражения 5 : 125

Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:

Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:

Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0

Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:

Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500

Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5 : 125 равно 0,04

Действия с десятичными дробями

Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.

Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене. Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению

Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.

Как складывать десятичные дроби

При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Разберемся на примере:

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при сложении в сумме мы получаем больше \( 10\), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.

Решим наш пример, учтя все правила:

Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:

  • \( 0,0125+0,141\)
  • \( 2,4225+0,34\)
  • \( 122,4355+1,34\)
  • \( 2,435+12,3\)

Сравним ответы:

  • \( 0,0125+0,141=0,1535\)
  • \( 2,4225+0,34=2,7625\)
  • \( 122,4355+1,34=123,7755\)
  • \( 2,435+12,3=14,735\)

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Способ 1:

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Возьмем число 438.
Делим последовательно 4 на 2 и получаем остатки 0,0,1. Записываем их в обратном порядке. Получаем 100.
Делим последовательно 3 на 2 и получаем остатки 1,1. Записываем их в обратном порядке и дополняем ведущими нулями до трех разрядов. Получаем 011.
Записываем вместе и получаем 1000112

Способ 2:

Используем таблицу триад:

Цифра 1 2 3 4 5 6 7
Триада 000 001 010 011 100 101 110 111

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

3518 = (011) (101) (001) = 0111010012 = 111010012

Что такое дробь?

Для начала вспомним, что такое обыкновенная дробь. Это число, которое обозначает часть единицы, чего-то целого. Для того, чтобы использовать подобные числа в расчетах, нам нужно знать, на сколько частей поделили единицу и сколько частей мы взяли для расчета.

Например, вы решаете задачу, где сказано, что папа съел одну четвертую часть пирога. Нужно посчитать, сколько калорий употребил папа. В этом случае, для расчета нам потребуется дробь, которая обозначит часть пирога. Значит, пирог – это целое. На сколько частей поделили пирог?

Дробь записывается в виде двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число зовется числителем. Как раз оно и отображает количество съеденных кусков. Тогда как знаменатель, это общее количество кусочков, на которое разделили целое.

Если числитель и знаменатель равны, то никакой дроби не получится. Получится число: 1. Так же, если числитель является кратным для знаменателя, то дробь сразу сокращают до целого числа.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Способ 1:

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2n, где n — номер разряда, и сложим результаты.

110102 = (0001) (1010) = (0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*2) (1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*2) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A16

Способ 2:

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

1011111002 = (0001) (0111) (1100) = 17C16

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

1% = 1/100 = 0,01

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

0,15 = 0,15 · 100% = 15%.

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Быстрая напоминалка:

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Как решаем:

  1. Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
  2. А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.

Ответ: 5,4 = 5 2/5.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Как решаем:

  1. Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как решаем:

  1. Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
  2. Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

  1. Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
    • 0,35 = 0,35/1
    • 2,34 = 2,34/1
  2. Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
    • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
    • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
  3. А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
    • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
    • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2            
158 79 2          
1 78 39 2        
  1 38 19 2      
    1 18 9 2    
      1 8 4 2  
        1 4 2 2
          2 1

Рис. 1

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8    
608 76 8  
7 72 9 8
  4 8 1
    1  

Рис. 2

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16    
19664 1229 16  
9 1216 76 16
  13 64 4
    12  

Рис. 3

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

    0.214
  x 2
  0.428
  x 2
  0.856
  x 2
1   0.712
  x 2
1   0.424
  x 2
  0.848
  x 2
1   0.696
  x 2
1   0.392

Рис. 4

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011.

Следовательно можно записать:

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

    0.125
  x 2
  0.25
  x 2
  0.5
  x 2
1   0.0

Рис. 5

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

    0.214
  x 16
3   0.424
  x 16
6   0.784
  x 16
12   0.544
  x 16
8   0.704
  x 16
11   0.264
  x 16
4   0.224

Рис. 6

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

    0.512
  x 8
4   0.096
  x 8
  0.768
  x 8
6   0.144
  x 8
1   0.152
  x 8
1   0.216
  x 8
1   0.728

Рис. 7

Получили:

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

  1. Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
  2. Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

Как решаем:

  1. Записать деление уголком.
  2. Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
  3. Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
  4. Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:

Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Как решаем:

  1. Записать деление уголком.
  2. Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
  3. Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
  4. Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Как решаем:

  1. Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
  2. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Как решаем:

  1. Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
  2. Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
  3. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Как решаем:

  1. Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
  2. Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Как решаем:

  1. Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
  2. Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

  • Калькулятор раз
  • Два
  • Три

Как превратить десятичную дробь в обычную?

Например, 3,45 или 0,299.Например: ​\( \frac{4}{5} \)​, ​\( \frac{25}{70} \)​, 3​\( \frac{2}{7} \)​

Первый способ – механический

\( \frac{1}{20} \)

  1. Запишем в числитель значимые цифры ДД (без нулей слева и запятых), а в знаменатель – единицу: ​\( \frac{5}{1} \)​.
  2. Добавим к единице столько нулей, сколько знаков после запятой в исходном числе 0,05, то есть два: ​\( \frac{5}{100} \)​.
  3. Сократим получившуюся ОД на 5, получим ​\( \frac{1}{20} \)​.

 Результат решения: \( \frac{5}{100} \)\( \frac{1}{20} \)

  1. Запишем в числитель все цифры без запятой: ​\( \frac{3075}{} \)​.
  2. В знаменатель – “1” и столько “0”, сколько знаков после запятой в числе 3,075 – три: ​\( \frac{3075}{1000} \)​.
  3. Сократим на 25: ​\( \frac{3075}{1000} \)​= ​\( \frac{123}{40} \)​ (можно постепенно, два раза по 5).
  4. Если далее следуют еще какие-то вычисления, можно оставить ее в таком виде. Если нет, превратим неправильную дробь в правильную, выделив целую часть, 123 : 40 = 3 (и 3 в остатке). Значит — ​\( \frac{123}{40} \)​ = 3​\( \frac{3}{40} \)​

Ход преобразований: \( \frac{3075}{1000} \) \( \frac{123}{40} \)\( \frac{3}{40} \)

  1. Оставляем целое ДД “за кадром” и займемся только дробным компонентом: 3,075 – это 3 + 0,075:
    •  3 пока не трогаем;
    •  0,075 переводим в ОД: ​\( \frac{75}{1000} \)​.
  2. Сокращаем полученную дробь на 25: ​\( \frac{75}{1000} \)​ = ​\( \frac{3}{40} \)​.
  3. Возвращаем целую часть на свое место, соединяем: 3,075 = 3​\( \frac{3}{40} \)​.

 Вся последовательность: \( \frac{75}{1000} \)\( \frac{3}{40} \)\( \frac{3}{40} \)

Второй способ – “на слух”

  • восемь/девятых – ​\( \frac{8}{9} \)​;
  • одиннадцать/тридцатых – ​\( \frac{11}{30} \)​;
  • сто две/триста семнадцатых – ​\( \frac{102}{317} \)​.

например, 0,45:

  • 0, 45 – это (слушаем!) сорок пять/сотых – ​\( \frac{45}{100} \)​;
  • Теперь сократим на 5: ​\( \frac{45}{100} \)​ = ​\( \frac{9}{20} \)​.

 В итоге получаем: \( \frac{45}{100} \)\( \frac{9}{20} \)14,408 в виде ОД:

  1. 14 целых не трогаем. Превращаем: 0,408 = ​\( \frac{408}{1000} \)​.
  2. Сокращаем на 8: ​\( \frac{408}{1000} \)​ = ​\( \frac{51}{125} \)​.
  3. Соединяем целую и дробную части.

Ход решения: \( \frac{408}{1000} \)\( \frac{51}{125} \)

Еще несколько примеров:

  • 1, 08 – одна целая, восемь сотых – 1​\( \frac{8}{100} \)​ = 1​\( \frac{2}{25} \)​ (дробную составляющую уменьшили в 4 раза);
  • 5,0125 – пять целых, сто двадцать пять/десятитысячных – 5​\( \frac{125}{1000} \)​ = 5​\( \frac{1}{80} \)​ (сократили на 125);
  • 0,648 – шестьсот сорок восемь тысячных – ​\( \frac{648}{1000} \)​ = ​\( \frac{81}{125} \)​ (разделили все на 8).

Правило перевода десятичной дроби в обыкновенную

Чтобы перевести десятичную дробь в простую, придерживаемся следующих правил:

1. Целая часть десятичной дроби – это то же самое, что и целая часть обыкновенной дроби, которая в данном случае будет являться смешанной.Примечание: если целая часть десятичной дроби равняется нулю, значит мы имеем дело с правильной простой дробью (числитель меньше знаменателя).

2. Цифры после запятой (дробная часть) в десятичной дроби пишем в числителе дробной части обыкновенной дроби. При этом, отбрасываем все нули.

3. В знаменателе дробной части простой дроби пишем единицу и количество нулей, равное количеству цифр после запятой в десятичной дроби.Примечание: Нули, которые иногда могут встречаться после цифр в дробной части десятичной дроби, не считаются (согласно основному свойству) и их можно отбросить.

Чтобы превратить бесконечную десятичную дробь в обыкновенную сначала ее следует округлить и только после этого выполнить перевод.

Для перевода бесконечных периодических десятичных дробей в простые дроби есть отдельная инструкция.

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число 6 3 7 2
позиция 3 2 1

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число 1 2 8 7 . 9 2 3
позиция 3 2 1   -1 -2 -3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Цn·sn+Цn-1·sn-1+…+Ц1·s1+Ц·s+Д-1·s-1+Д-2·s-2+…+Д-k·s-k

где Цn-целое число в позиции n, Д-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Арифметические действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

  1.  уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
  2.  записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
  3.  выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
  4.  поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

  1.  разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
  2.  поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;
  3.  если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:

  •  в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;
  •  выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).

Примеры

Конечные дроби

Пример 1

0,2 =

2

 
Т.к. после запятой всего одна цифра, значит пишем один ноль после единицы в знаменателе, а в числитель переносим цифру 2.

 Пример 2

0,02 =

2

 
Т.к. после запятой две цифры, значит пишем два нуля после единицы в знаменателе. А в числитель переносим только цифры, отличные от нуля.

 Пример 3

0,02000 = 0,02 =

2

 
Т.к. нули после цифр в дробной части десятичной дроби можно отбросить, следовательно, остаются только две цифры, а значит – всего два нуля с единицей в знаменателе. Числитель, как и в примере выше, будет содержать только одну цифру 2.

 Пример 4

3,8 = 3

8

 
Целую часть десятичной дроби переписываем в целую часть простой смешанной дроби, а дробную часть представляем в виде числителя и знаменателя. Полученную дробь, также, можно записать как неправильную.

3

8

=

3 ⋅ 10 + 8

=

38

 Пример 5

6,27 = 6

27

 (смешанная дробь)

6

27

=

6 ⋅ 100 + 27

=

627

 (неправильная дробь)

 Пример 6

8,09 = 8

9

 (смешанная дробь)

8

9

=

8 ⋅ 100 + 9

=

809

 (неправильная дробь)

 Пример 7

10,607 = 10

607

=

10 ⋅ 1000 + 607

=

10607

 Пример 8

15,040500 = 15,0405 = 15

405

=

15 ⋅ 10000 + 405

=

150405

Бесконечные дроби

Давайте переведем бесконечную дробь 12,004571231457668723568421… в обыкновенную.

Решение
Для начала округлим дробь до 4 цифр после запятой, т.е. 12,004571231457668723568421… ≈ 12,0046.

Теперь можем превратить эту дробь в простую.

12,0046 = 12

46

=

12 ⋅ 10000 + 46

=

120046

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число: 5 9 2 1
Позиция: 3 2 1

Число 5921 можно записать в следующем виде: = = . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число: 1 2 3 4 5 6 7
Позиция: 3 2 1 -1 -2 -3

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: = = .