Содержание
Перевод неправильных дробей в десятичную дробь
Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя.
Бывают неправильные дроби, у которых в знаменателе содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять цéлую часть.
Пример 1. Перевести неправильную дробь в десятичную.
Дробь является неправильной. Чтобы перевести такую дробь в десятичную, нужно в первую очередь выделить у нее цéлую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и хорошенько изучить её.
Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10. Деление нужно выполнить с остатком:
Посмóтрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Частное 11 будет целой частью, остаток 2 — числителем дробной части, делитель 10 — знаменателем дробной части:
Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:
11,
Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать после запятой числитель дробной части:
11,2
Значит, неправильная дробь при переводе в десятичную обращается в 11,2
Десятичная дробь 11,2 читается так:
«Одиннадцать целых, две десятых».
Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.
Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе содержится число 100.
В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим уголком 450 на 100:
Соберём новое смешанное число — получим . Теперь переведём его в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:
4,
Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
4,50
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную обращается в 4,50
При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5
Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны и между ними можно поставить знак равенства:
4,50 = 4,5
Возникает вопрос «а почему так происходит?» Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби
- В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
- В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
- При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.
Рассмотрим применение данного правила на примерах.
Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные
Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.
- В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
- В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
- Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.
Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные
Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные.
- В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
- В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.
Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?
Сформулируем еще одно правило.
Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.
- Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
- В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
- В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.
Обратимся к примеру
Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число
Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.
- Записываем число 155, как целую часть.
- В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
- В знаменателе записываем единицу и пять нулей
Поучаем смешанное число: 1556005100000
Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:
155,06005=155120120000
Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби
Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.
Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.
Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Обратим периодическую дробь 3,75().
Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.
Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:
3,75()=3,75=375100=154.
Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:
,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..
Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1-q.
Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.
Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.
Запишем:
,(8)=,8+,08+,008+..
Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1.
Применим формулу:
,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89
Это и есть искомая обыкновенная дробь.
Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.
Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Обратим дробь ,43(18).
Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:
,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..)
Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:
,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900.
Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат:
,43(18)=43100+189900
После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:
,43(18)=1944
В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.
Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Все услуги
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.
Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»
Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.
Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.
При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.
Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:
Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице», то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:
Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:
Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:
Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10
Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5
Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:
Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см
Пример 2. Найти значение выражения 4 : 5
Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:
Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.
Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:
Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4 : 5 равно 0,8
Пример 3. Найти значение выражения 5 : 125
Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:
Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0
Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:
Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0
Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50
Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:
Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:
Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500
Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5 : 125 равно 0,04
Действия с десятичными дробями
Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.
Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене. Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению
Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.
Как складывать десятичные дроби
При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Разберемся на примере:
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при сложении в сумме мы получаем больше \( 10\), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.
Решим наш пример, учтя все правила:
Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:
- \( 0,0125+0,141\)
- \( 2,4225+0,34\)
- \( 122,4355+1,34\)
- \( 2,435+12,3\)
Сравним ответы:
- \( 0,0125+0,141=0,1535\)
- \( 2,4225+0,34=2,7625\)
- \( 122,4355+1,34=123,7755\)
- \( 2,435+12,3=14,735\)
Перевод из восьмеричной системы в двоичную
Способ 1:
Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.
Возьмем число 438.
Делим последовательно 4 на 2 и получаем остатки 0,0,1. Записываем их в обратном порядке. Получаем 100.
Делим последовательно 3 на 2 и получаем остатки 1,1. Записываем их в обратном порядке и дополняем ведущими нулями до трех разрядов. Получаем 011.
Записываем вместе и получаем 1000112
Способ 2:
Используем таблицу триад:
Цифра | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Триада | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.
3518 = (011) (101) (001) = 0111010012 = 111010012
Что такое дробь?
Для начала вспомним, что такое обыкновенная дробь. Это число, которое обозначает часть единицы, чего-то целого. Для того, чтобы использовать подобные числа в расчетах, нам нужно знать, на сколько частей поделили единицу и сколько частей мы взяли для расчета.
Например, вы решаете задачу, где сказано, что папа съел одну четвертую часть пирога. Нужно посчитать, сколько калорий употребил папа. В этом случае, для расчета нам потребуется дробь, которая обозначит часть пирога. Значит, пирог – это целое. На сколько частей поделили пирог?
Дробь записывается в виде двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число зовется числителем. Как раз оно и отображает количество съеденных кусков. Тогда как знаменатель, это общее количество кусочков, на которое разделили целое.
Если числитель и знаменатель равны, то никакой дроби не получится. Получится число: 1. Так же, если числитель является кратным для знаменателя, то дробь сразу сокращают до целого числа.
Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Способ 1:
Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2n, где n — номер разряда, и сложим результаты.
110102 = (0001) (1010) = (0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*2) (1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*2) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A16
Способ 2:
Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:
Тетрада | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Цифра | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
1011111002 = (0001) (0111) (1100) = 17C16
Преобразование десятичных дробей
Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!
Как перевести десятичную дробь в проценты
Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.
1% = 1/100 = 0,01
Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.
А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:
0,15 = 0,15 · 100% = 15%.
Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.
2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%
8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%
Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:
Преобразование десятичных дробей
Быстрая напоминалка:
Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.
Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).
Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!
Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.
Как решаем:
- Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
- А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.
Ответ: 5,4 = 5 2/5.
Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.
Как решаем:
- Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.
Ответ: 4,005 = 4 1/200.
Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.
Как решаем:
- Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
- Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.
Ответ: 5,60 = 5 6/10.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:
- Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
- 0,35 = 0,35/1
- 2,34 = 2,34/1
- Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
- 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
- 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
- А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
- 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
- 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.
Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.
Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
159 | 2 | ||||||
158 | 79 | 2 | |||||
1 | 78 | 39 | 2 | ||||
1 | 38 | 19 | 2 | ||||
1 | 18 | 9 | 2 | ||||
1 | 8 | 4 | 2 | ||||
1 | 4 | 2 | 2 | ||||
2 | 1 |
Рис. 1
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:
Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
615 | 8 | ||
608 | 76 | 8 | |
7 | 72 | 9 | 8 |
4 | 8 | 1 | |
1 |
Рис. 2
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
19673 | 16 | ||
19664 | 1229 | 16 | |
9 | 1216 | 76 | 16 |
13 | 64 | 4 | |
12 |
Рис. 3
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.
Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
0.214 | ||
x | 2 | |
0.428 | ||
x | 2 | |
0.856 | ||
x | 2 | |
1 | 0.712 | |
x | 2 | |
1 | 0.424 | |
x | 2 | |
0.848 | ||
x | 2 | |
1 | 0.696 | |
x | 2 | |
1 | 0.392 |
Рис. 4
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011.
Следовательно можно записать:
Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
0.125 | ||
x | 2 | |
0.25 | ||
x | 2 | |
0.5 | ||
x | 2 | |
1 | 0.0 |
Рис. 5
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
0.214 | ||
x | 16 | |
3 | 0.424 | |
x | 16 | |
6 | 0.784 | |
x | 16 | |
12 | 0.544 | |
x | 16 | |
8 | 0.704 | |
x | 16 | |
11 | 0.264 | |
x | 16 | |
4 | 0.224 |
Рис. 6
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
0.512 | ||
x | 8 | |
4 | 0.096 | |
x | 8 | |
0.768 | ||
x | 8 | |
6 | 0.144 | |
x | 8 | |
1 | 0.152 | |
x | 8 | |
1 | 0.216 | |
x | 8 | |
1 | 0.728 |
Рис. 7
Получили:
Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:
Действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.
Как разделить десятичную дробь на натуральное число
- Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
- Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.
Пример 1. Разделить 4,8 на 2.
Как решаем:
- Записать деление уголком.
- Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
- Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
- Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:
Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.
Пример 2. Разделить 183,06 на 45.
Как решаем:
- Записать деление уголком.
- Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
- Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
- Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.
Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.
Как разделить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.
Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.
Как решаем:
- Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
- Разделить дробь по правилам:
Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.
Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.
Как решаем:
- Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
- Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
- Разделить дробь по правилам:
Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.
Как умножить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.
Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.
Как решаем:
- Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
- Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.
Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.
Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.
Как решаем:
- Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
- Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.
Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.
А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:
- Калькулятор раз
- Два
- Три
https://youtube.com/watch?v=Ec7yVzwP3Yw
Как превратить десятичную дробь в обычную?
Например, 3,45 или 0,299.Например: \( \frac{4}{5} \), \( \frac{25}{70} \), 3\( \frac{2}{7} \)
Первый способ – механический
\( \frac{1}{20} \)
- Запишем в числитель значимые цифры ДД (без нулей слева и запятых), а в знаменатель – единицу: \( \frac{5}{1} \).
- Добавим к единице столько нулей, сколько знаков после запятой в исходном числе 0,05, то есть два: \( \frac{5}{100} \).
- Сократим получившуюся ОД на 5, получим \( \frac{1}{20} \).
Результат решения: \( \frac{5}{100} \)\( \frac{1}{20} \)
- Запишем в числитель все цифры без запятой: \( \frac{3075}{} \).
- В знаменатель – “1” и столько “0”, сколько знаков после запятой в числе 3,075 – три: \( \frac{3075}{1000} \).
- Сократим на 25: \( \frac{3075}{1000} \)= \( \frac{123}{40} \) (можно постепенно, два раза по 5).
- Если далее следуют еще какие-то вычисления, можно оставить ее в таком виде. Если нет, превратим неправильную дробь в правильную, выделив целую часть, 123 : 40 = 3 (и 3 в остатке). Значит — \( \frac{123}{40} \) = 3\( \frac{3}{40} \)
Ход преобразований: \( \frac{3075}{1000} \) \( \frac{123}{40} \)\( \frac{3}{40} \)
- Оставляем целое ДД “за кадром” и займемся только дробным компонентом: 3,075 – это 3 + 0,075:
- 3 пока не трогаем;
- 0,075 переводим в ОД: \( \frac{75}{1000} \).
- Сокращаем полученную дробь на 25: \( \frac{75}{1000} \) = \( \frac{3}{40} \).
- Возвращаем целую часть на свое место, соединяем: 3,075 = 3\( \frac{3}{40} \).
Вся последовательность: \( \frac{75}{1000} \)\( \frac{3}{40} \)\( \frac{3}{40} \)
Второй способ – “на слух”
- восемь/девятых – \( \frac{8}{9} \);
- одиннадцать/тридцатых – \( \frac{11}{30} \);
- сто две/триста семнадцатых – \( \frac{102}{317} \).
например, 0,45:
- 0, 45 – это (слушаем!) сорок пять/сотых – \( \frac{45}{100} \);
- Теперь сократим на 5: \( \frac{45}{100} \) = \( \frac{9}{20} \).
В итоге получаем: \( \frac{45}{100} \)\( \frac{9}{20} \)14,408 в виде ОД:
- 14 целых не трогаем. Превращаем: 0,408 = \( \frac{408}{1000} \).
- Сокращаем на 8: \( \frac{408}{1000} \) = \( \frac{51}{125} \).
- Соединяем целую и дробную части.
Ход решения: \( \frac{408}{1000} \)\( \frac{51}{125} \)
Еще несколько примеров:
- 1, 08 – одна целая, восемь сотых – 1\( \frac{8}{100} \) = 1\( \frac{2}{25} \) (дробную составляющую уменьшили в 4 раза);
- 5,0125 – пять целых, сто двадцать пять/десятитысячных – 5\( \frac{125}{1000} \) = 5\( \frac{1}{80} \) (сократили на 125);
- 0,648 – шестьсот сорок восемь тысячных – \( \frac{648}{1000} \) = \( \frac{81}{125} \) (разделили все на 8).
Правило перевода десятичной дроби в обыкновенную
Чтобы перевести десятичную дробь в простую, придерживаемся следующих правил:
1. Целая часть десятичной дроби – это то же самое, что и целая часть обыкновенной дроби, которая в данном случае будет являться смешанной.Примечание: если целая часть десятичной дроби равняется нулю, значит мы имеем дело с правильной простой дробью (числитель меньше знаменателя).
2. Цифры после запятой (дробная часть) в десятичной дроби пишем в числителе дробной части обыкновенной дроби. При этом, отбрасываем все нули.
3. В знаменателе дробной части простой дроби пишем единицу и количество нулей, равное количеству цифр после запятой в десятичной дроби.Примечание: Нули, которые иногда могут встречаться после цифр в дробной части десятичной дроби, не считаются (согласно основному свойству) и их можно отбросить.
Чтобы превратить бесконечную десятичную дробь в обыкновенную сначала ее следует округлить и только после этого выполнить перевод.
Для перевода бесконечных периодических десятичных дробей в простые дроби есть отдельная инструкция.
Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
число | 6 | 3 | 7 | 2 |
позиция | 3 | 2 | 1 |
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
число | 1 | 2 | 8 | 7 | . | 9 | 2 | 3 |
позиция | 3 | 2 | 1 | -1 | -2 | -3 |
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
Цn·sn+Цn-1·sn-1+…+Ц1·s1+Ц·s+Д-1·s-1+Д-2·s-2+…+Д-k·s-k
где Цn-целое число в позиции n, Д-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.
В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
Таблица 1 | |||
---|---|---|---|
Система счисления | |||
10 | 2 | 8 | 16 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
Арифметические действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
- уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
- записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
- выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
- поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Деление десятичных дробей
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
- разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
- поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;
- если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:
- в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;
- выполнить деление на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).
Примеры
Конечные дроби
Пример 1
0,2 =
2
Т.к. после запятой всего одна цифра, значит пишем один ноль после единицы в знаменателе, а в числитель переносим цифру 2.
Пример 2
0,02 =
2
Т.к. после запятой две цифры, значит пишем два нуля после единицы в знаменателе. А в числитель переносим только цифры, отличные от нуля.
Пример 3
0,02000 = 0,02 =
2
Т.к. нули после цифр в дробной части десятичной дроби можно отбросить, следовательно, остаются только две цифры, а значит – всего два нуля с единицей в знаменателе. Числитель, как и в примере выше, будет содержать только одну цифру 2.
Пример 4
3,8 = 3
8
Целую часть десятичной дроби переписываем в целую часть простой смешанной дроби, а дробную часть представляем в виде числителя и знаменателя. Полученную дробь, также, можно записать как неправильную.
3
8
=
3 ⋅ 10 + 8
=
38
Пример 5
6,27 = 6
27
(смешанная дробь)
6
27
=
6 ⋅ 100 + 27
=
627
(неправильная дробь)
Пример 6
8,09 = 8
9
(смешанная дробь)
8
9
=
8 ⋅ 100 + 9
=
809
(неправильная дробь)
Пример 7
10,607 = 10
607
=
10 ⋅ 1000 + 607
=
10607
Пример 8
15,040500 = 15,0405 = 15
405
=
15 ⋅ 10000 + 405
=
150405
Бесконечные дроби
Давайте переведем бесконечную дробь 12,004571231457668723568421… в обыкновенную.
Решение
Для начала округлим дробь до 4 цифр после запятой, т.е. 12,004571231457668723568421… ≈ 12,0046.
Теперь можем превратить эту дробь в простую.
12,0046 = 12
46
=
12 ⋅ 10000 + 46
=
120046
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число: | 5 | 9 | 2 | 1 |
Позиция: | 3 | 2 | 1 |
Число 5921 можно записать в следующем виде: = = . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Позиция: | 3 | 2 | 1 | -1 | -2 | -3 |
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: = = .