Содержание
Как найти гипотенузу?
Как найти гипотенузу, зная катеты?
Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.
Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).
Например:
Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:
c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.
Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).
Как найти катет в прямоугольном треугольнике
По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:
Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:
(c — гипотенуза, a и b — катеты)
Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.
Применяем формулу b = √c² — a² ⇔
b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.
Как найти гипотенузу, зная катет и угол?
Если есть противолежащий катет — теорема синусов
Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).
Формула:
Например:
Известна одна сторона треугольника ?? = √2 и ∠β = 45º.
∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).
Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.
Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.
Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:
BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º
В таблице вы найдёте значения для синуса:
| sin 45º | √2/2 |
| sin 60º | √3/2 |
| sin 90º | 1 |
В условии задачи нам дано: ?? = √2, значит:
BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º
Подставляем значения синуса из таблицы:
BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔
BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)
Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:
AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2
Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.
Если есть прилежащий катет — по косинусу
Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).
Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.
Например:
Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).
Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.
Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.
BC = 1/ (√2/2) = √2
Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.
Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).
Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.
Например:
Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.
Формула b = √2a². Подставляем:
b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899
Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):
c² = a² + b²
c² = 7² + 7²
c² = 49 + 49
c² = 98
c = √98
c ≈ 9.899
Ответ: гипотенуза равна 9.899.
Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.
Прямоугольный треугольник — коротко о главном
- \( \displaystyle a,\text{ }b\) — катеты
- \( \displaystyle c\) — гипотенуза
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.
Теорема Пифагора
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по двум катетам: \( \displaystyle a={{a}_{1}},\ b={{b}_{1}}\)
- по катету и гипотенузе: \( \displaystyle a={{a}_{1}},\ c={{c}_{1}}\) или \( \displaystyle b={{b}_{1}},\ c={{c}_{1}}\)
- по катету и прилежащему острому углу: \( \displaystyle a={{a}_{1}},\) \( \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\) или \( \displaystyle b={{b}_{1}},\) \( \displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}\)
- по катету и противолежащему острому углу: \( \displaystyle a={{a}_{1}},\) \( \displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}\) или \( \displaystyle b={{b}_{1}},\) \( \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\)
- по гипотенузе и остром углу: \( \displaystyle c={{c}_{1}},\) \( \displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}\) или \( \displaystyle c={{c}_{1}},\) \( \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\).
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
- одному острому углу: \( \displaystyle \ \alpha =\ {{\alpha }_{1}}\) или \( \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\)
- из пропорциональности двух катетов: \( \displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=\frac{b}{{{b}_{1}}}\)
- из пропорциональности катета и гипотенузы: \( \displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=\frac{c}{{{c}_{1}}}\) или \( \displaystyle \frac{b}{{{b}_{1}}}=\frac{c}{{{c}_{1}}}\).
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике:
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: \( \displaystyle \sin \ \alpha =\frac{a}{c},\ \ \sin \ \beta =\frac{b}{c}\)
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: \( \displaystyle \cos \ \alpha =\frac{b}{c},\ \ \cos \ \beta =\frac{a}{c}\)
- Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: \( \displaystyle tg\alpha =\frac{a}{b},\ \ tg\beta =\frac{b}{a}\)
- Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: \( \displaystyle ctg\alpha =\frac{b}{a},\ \ ctg\beta =\frac{a}{b}\).
Высота прямоугольного треугольника
- Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника.
- Каждый из этих треугольников подобен исходному: \( \displaystyle \Delta BEC\sim \Delta AEC\sim \Delta ABC\)
- Высота прямоугольного треугольника: \( \displaystyle h=\frac{ab}{c}\) или \( \displaystyle h=\sqrt{BE\cdot EA}\).
Медиана и описанная окружность
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: \( \displaystyle m=\frac{c}{2}\).
- Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
- Радиус описанной окружности: \( \displaystyle R=\frac{c}{2}={{m}_{c}}\).
Вписанная окружность
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
Площадь прямоугольного треугольника:
Калькулятор периметра прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — простая, но крайне важная для математики фигура. Знание о его свойствах и умение оперировать основными параметрами прямоугольного треугольника позволит вам справиться как со школьными, так и с реальными задачами.
Геометрия прямоугольного треугольника
Геометрически треугольник — это три точки, не лежащие на одной прямой, которые соединены между собой отрезками. Прямоугольный треугольник — фигура, две стороны которой образуют прямой угол.
Эти стороны называются катетами треугольника, а третья, самая длинная сторона, носит название гипотенузы.
Соотношение квадратов катетов и гипотенузы устанавливает теорема Пифагора — одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии.
Соотношения гипотенузы и катетов также положили основу для целого раздела математики — тригонометрии.
Изначально синусы и косинусы определялись как функции углов прямоугольного треугольника, но в современном значении тригонометрические функции расширены на всю числовую ось.
Сегодня тригонометрия используется во многих областях человеческой деятельности: от астрономии и океанографии до анализа финансовых рынков и разработки компьютерных игр.
Прямоугольный треугольник в реальности
Непосредственно прямоугольный треугольник встречается в реальности на каждом углу, как в прямом, так и в переносном смысле.
Форму прямоугольного треугольника имеют грани тетраэдров и призм, которые в реальности превращаются в детали машин, керамическую плитку или скаты крыш.
Угольник — чертежный инструмент, с которым человек впервые встречается на уроке геометрии, имеет форму именно прямоугольного треугольника и используется в проектировании, строительстве и столярном деле.
Периметр треугольника
Периметр — это численная оценка длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Периметр n-угольника находится как сумма длин n сторон. Для определения периметра прямоугольного треугольника используется простая формула:
- P = a + b + c,
- a и b – катеты, c – гипотенуза.
- Вычисляя периметр треугольника вручную, вам пришлось бы измерять все три стороны, проводить дополнительные тригонометрические операции или вычисления по теореме Пифагора. Используя онлайн-калькулятор вам достаточно узнать следующие пары переменных:
- два катета;
- катет и угол;
- гипотенуза и угол.
В школьных задачах или на практике вам будут заданы исходные данные, поэтому калькулятор позволяет найти периметр, зная разные пары параметров. Кроме того, инструмент автоматически рассчитывает все остальные атрибуты прямоугольного треугольника, то есть длины всех сторон и величины всех углов. Рассмотрим пару примеров.
Школьная задача
Пусть в школьной задаче вам задан прямоугольный треугольник с длиной катета равным 5 см и прилежащим углом, величина которого составляет 60 градусов. Требуется найти периметр геометрической фигуры.
Онлайн-калькулятор сопровождается рисунком, на котором изображены стороны и углы прямоугольного треугольника. Мы видим, что если катет a = 5 см, то его прилежащий угол — это угол бета.
Это важный момент, так как если вы используете для расчетов угол альфа, то результат будет неверным. Вбиваем эти данные в форму и получаем ответ в виде:
Помимо непосредственно периметра, наша программа также определила величину противолежащего угла, а также длину второго катета и гипотенузы.
Обустройство клумбы
Допустим, вы хотите сделать ограду для клумбы, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для этого вам необходимо узнать периметр фигуры. Конечно, в реальности вы можете просто замерить все три стороны, но легко упростить себе задачу и измерить только два катета. Пусть они имеют длину 8 и 15 метров. Вбиваем эти данные в форму калькулятора и получаем ответ:
P = 40
Итак, вам понадобится закупить материалы для обустройства 40 метров ограды. Наш калькулятор также подсчитал длину гипотенузы — 17 метров. Числа 8, 15 и 17 составляют пифагорову тройку — натуральные числа, которые удовлетворяют условиям теоремы Пифагора.
Заключение
Прямоугольные треугольники получили широкое распространение в повседневности, поэтому определение площади или периметра геометрической фигуры наверняка пригодится вам при решении школьных задач или бытовых вопросов.
Как найти стороны прямоугольного треугольника
Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c² = a² + b²
следовательно: c = √a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Основные тригонометрические функции
Пусть есть некоторый прямоугольный треугольник АBС, у которого∠С = 90°. Обозначим какой-нибудь его острый угол, например, ∠А, греческой буквой α. В треугольнике есть два катета. Тот из них, который, непосредственно является одной из сторон угла α, называют прилежащим катетом. Другой катет именуют противолежащим. Ещё одна сторона треугольника – это гипотенуза, для которой не надо уточнять, прилежащая она или противолежащая относительно острого угла:
Отношения этих трех сторон друг к другу имеют особое наименование.
Для обозначения этих трех величин (их именуют тригонометрическими функциями) используют сокращения sin, cos и tg. При этом после этого сокращения может писаться как обозначение угла греческой буквой, так и обычное обозначение с помощью больших латинских букв:
Задание. Найдите значения тригонометрических функций для∠А в ∆АBС, длины сторон которого указаны на рисунке:
Решение. Просто пользуемся определениями каждой функции:
Задание. Найдите величину тригонометрических функций угла∠В в ∆АBС, показанном на рисунке:
Решение. На первый взгляд кажется, что задание повторяет предыдущее, но это не так. В данном случае нам надо вычислять функции не для∠А, а для ∠В. Для него противолежащим катетом уже будет АС, а прилежащим – ВС. Тогда можно записать, что
Задание. В прямоугольном ∆АBС гипотенуза АB имеет длину 10, а sin∠A = 0,2. Найдите величину ВС.
Решение. Запишем синус как отношение двух сторон:
Задание. В прямоугольном ∆АBС АС = 8, cos∠A = 0,4. Какова длина гипотенузы АB?
Решение. Выразим известный нам косинус как отношение двух отрезков:
Принципиально важно то, что если в двух прямоугольных треугольниках острые углы одинаковы, то и значение их синусов, косинусов и тангенсов также будут одинаковы. Действительно, пусть у ∆АBС и ∆А1В1С1 одинаковы∠А и ∠А1, а ∠С и ∠С1 – прямые:
Тогда у них совпадает по два угла, а это означает, что ∆АBС и ∆А1В1С1 подобны. Из этого подобия вытекает пропорция:
Отсюда можно сделать вывод:
Другими словами, значение тригонометрической функции угла зависит только от величины угла (его градусной меры) и НЕ зависит от того, в каком прямоугольном треугольнике этот угол построен. Действительно, с помощью калькулятора или компьютера можно всегда посчитать синус для какого-то угла, если известна его величина в градусах.
Задание. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке:
Решение. Нам надо самостоятельно достроить угол до прямоугольного треугольника. Удобней всего просто построить вертикальную линию, длину которой будет удобно измерить с помощью клеточек. Например, можно сделать такое построение:
Тогда тангенс можно получить, поделив вертикальный отрезок (он здесь оказывается противолежащим катетом) на горизонтальный:
Заметим, что мы могли построить и треугольник с другими размерами, однако во всех случаях величина тангенса будет одной и той же:
Ответ: 0,5
Задание. Постройте такой угол, что его тангенс будет равен 1,5.
Решение. Если тангенс равен 1,5, то это означает, что противолежащий катет в 1,5 раза длиннее прилежащего катета треугольника. В 1,5 раза отличаются, например, числа 2 и 3. Значит, если мы построим треугольник с катетами 2 и 3, то мы получим необходимый нам угол:
Прямоугольный треугольник
Ключевые слова: треугольник, прямоугольный, катет, гипотенуза, теорема Пифагора, окружность
Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой.
- По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
- Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
- Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = hc из вершины С его прямого угла.
Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС.
Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой.
 |
Из подобия треугольников определяются соотношения:
- $$h = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}} = \frac{a \cdot b}{c}$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt{a_{c} \cdot c}, b = \sqrt{b_{c} \cdot c}$$;
- $$(\frac{a}{b})^{2}= \frac{a_{c}}{b_{c}}$$.
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
a2 + b2 = c2
Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a2 + b2 = c2,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по катету и гипотенузе;
- по двум катетам;
- по катету и острому углу;
- по гипотенузе и острому углу.
См. также: Площадь треугольника, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
Трактовка
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ2=АС2+ВС2
Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ2=92+122=81+144=225=152, значит АВ=15 см.
Определение
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Определение
Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 162+122=202, 256+144=400, 400=400.
